Author:

Abstract:

Tijdsafhankelijke partiële differentiaalvergelijkingen worden numeriek opgelost door zowel tijd als ruimte te discretiseren. Omdat de zo bekomen stelsels van vergelijkingen erg groot kunnen zijn, is het vaak nodig iteratieve methodes te gebruiken die de structuur van deze systemen uitbuiten. Voor gediscretiseerde parabolische problemen zijn multiroostermethodes een uitstekende keuze. Een typisch modelprobleem is de warmtevergelijking gediscretiseerd met eindige differenties of eindige elementen in de ruimte en met een lineaire multistapmethode in de tijd. We onderzoeken hoe multiroostertechnieken kunnen toegepast worden voor meer algemene tijdsafhankelijke problemen. In het bijzonder ontwikkelen we multiroostermethodes voor anisotrope problemen, tijdsdiscretisaties van hoge orde en problemen met vertraging. Verder stellen we ook een nieuwe werkwijze voor om de convergentie van multiroostermethodes voor tijdsafhankelijke partiële differentiaalvergelijkingen te analyseren. Anisotrope partiële differentiaalvergelijkingen hebben coëfficiënten met een sterke richtingsafhankelijkheid. Voor zulke problemen werken standaard multiroostermethodes niet goed. Uitgaande van de technieken voor stationaire anisotrope problemen ontwikkelen we efficiënte multiroostermethodes voor tijdsafhankelijke anisotrope problemen. We beschouwen methodes gebaseerd op lijnrelaxatie, semivergroving en meervoudige semivergroving. We passen dezelfde methodes ook met goede resultaten toe op diffusievergelijkingen met coëfficiënten die afhangen van zowel positie als richting. Impliciete Runge-Kuttamethodes, randwaardemethodes en algemene lineaire methodes zijn krachtige tijdsdiscretisatieschema's die nauwkeurigheid van hoge orde, goede stabiliteit en vele andere gunstige eigenschappen toelaten. Voor algemene tijdsafhankelijke problemen zijn de resulterende systemen van vergelijkingen echter moeilijker op te lossen dan bij lineaire multistapmethodes. We tonen aan dat voor gediscretiseerde parabolische problemen, erg efficiënte multiroostermethodes ontwikkeld kunnen worden. De stabiliteit van de tijdsdiscretisatieschema's blijkt erg belangrijk voor de convergentie van de iteratieve methodes. Dezelfde technieken worden gebruikt om de combinatie van iteratieve methodes en Chebyshev spectrale collocatie in de tijd te bestuderen. Bij gewone tijdsafhankelijke partiële differentiaalvergelijkingen hangt de verandering van de toestand op een bepaald moment enkel af van de huidige toestand van het systeem. Bij partiële differentiaalvergelijkingen met vertraging hangt de toestandsverandering ook af van toestanden in het verleden. We bestuderen iteratieve methodes voor diffusievergelijkingen met een extra term met een vaste vertraging. In al deze gevallen wordt het gedrag van de methodes beoordeeld met een theoretische convergentieanalyse en met numerieke experimenten. De theoretische analyses combineren de theorie van convolutieoperatoren en Laplacetransformaties voor tijdsafhankelijke problemen met technieken gebaseerd op Fouriermodes voor multiroostermethodes. We introduceren een nieuwe aanpak voor de spectrale analyse van iteratieve methodes gebaseerd op functionele calculus. Deze theorie omvat de Laplaceanalyse voor tijdsafhankelijke problemen en de Fourieranalyse voor multiroostermethodes.