Author:

Abstract:

Powell-Sabin splines zijn stuksgewijze kwadratische veeltermen met een globale C1-continuïteit. Ze zijn gedefinieerd op driehoeksverdelingen en kunnen compact voorgesteld worden in een genormaliseerde spline basis. Deze splines zijn zeer geschikt voor het computergesteund geometrisch ontwerpen van oppervlakken. In deze thesis onderzoeken we de toepasbaarheid van Powell-Sabin splines voor het numeriek oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen. Omwille van de inherent hogere continuïteitsorde is een eindige elementendiscretisatie op basis van Powell-Sabin splines gewoonlijk efficiënter dan een gelijkaardige discretisatie met behulp van de klassieke Lagrange eindige elementen. We besteden speciale aandacht aan adaptieve verfijning. We werken een lokaal subdivisieschema uit voor Powell-Sabin splines, waarbij de driehoeksverdeling lokaal verfijnd wordt aan de hand van een sqrt(3)-schema. Om de constructie van driehoeken met kleine hoeken te vermijden wordt een heuristiek voor een verfijningspropagatie voorgesteld. Als alternatief ontwikkelen we een hiërarchische variant van Powell-Sabin splines. Deze laat op een zeer natuurlijke manier lokale verfijning toe. We hebben een quasi-hiërarchische basis geconstrueerd met gelijkaardige eigenschappen als de Powell-Sabin spline basis: de basisfuncties hebben een lokale draagwijdte, ze vormen een convexe eenheidspartitie, ze zijn C1-continu, ze zijn stabiel, en ze hebben een geometrisch intuïtieve interpretatie aan de hand van controledriehoeken. We stellen een multiroosteralgoritme op voor het efficiënt oplossen van het lineaire stelsel vergelijkingen dat ontstaat na de eindige elementendiscretisatie. Door gebruik te maken van berekeningen op een hiërarchie van ruwere roosters, kan de convergentie van een eenvoudige iteratieve oplosser versneld worden. Ten slotte onderzoeken we de invloed van randvoorwaarden op Powell-Sabin splines. Door een specifieke keuze van de basisfuncties aan de rand bekomen we een eenvoudig stel beperkingen op de splinecoëfficiënten.