Author:

Keywords:

Reduced Whitehead group, Central simple algebras

Abstract:

In deze doctoraatsverhandeling bestuderen we de groepsfunctor SK1(A) voo r een centrale enkelvoudige algebra A. Daarbij concentreren we ons op cohomologische invarianten van deze groepsfunctor. Zoals veron dersteld door Suslin, is de hoop dat deze (onder meer) Platonovs voorbee lden van niet-triviale SK1 kunnen verklaren. Het merendeel van de reeds bestaande invarianten beperkt zich steeds tot centrale enkel voudige algebra's A met index onderling ondeelbaar met de karakteristiek van k. In deze thesis introduceren we een methode om deze invarianten te veralg emenen (zodat we de voorwaarde op de index kunnen laten vallen). H iervoor gebruiken we een opheffing van positieve karakteristiek naar kar akteristiek nul. Aangezien de voorwaarde in karakteristiek nul nie t-bestaande is, kunnen we het bestaan van invarianten in karakteristiek nul gebruiken om via een specialisatie invarianten in positieve karakter istiek te verkrijgen. Dit vereist het gebruik van p-ringen, logari tmische differentialen (op zijn Kato's) en belangrijke hulpresultaten va n Kahn en Merkurjev. We vergelijken deze constructie ook met een invariant van SK1 voor biqua ternionen ingevoerd door Knus-Merkurjev-Rost-Tignol. Deze invarian t heeft ook geen voorwaarde op de index. We bewijzen dat deze geli jk is aan de nieuw geconstrueerde invariant. Tot slot tonen we aan dat een specifieke invariant van Kahn niet triviaal is voor het product van twee symboolalgebra's op zijn Platonovs. Tevens veralgemenen we een formule van Merkurjev voor de waarde op het centrum van biquatern ionen naar het het tensorproduct van twee symboolalgebra's. In een appendix beschrijven we het gedrag van de elementaire obstructie van een variëteit onder de weilrestrictie. De elementaire obstruct ie kan bepalen dat een variëteit geen rationale punten heeft. We b ewijzen dat de elementaire obstructie invariant is onder het nemen van d e weilrestrictie. Dit was de inhoud van een eerste artikel van de auteur. Alhoewel het onderwerp op zich verschillend is van de rest van de thesis, zijn de gebruikte methoden gelijkaardig.