ITEM METADATA RECORD
Title: Runge-Kutta type methods for periodic initial value problems
Other Titles: Methoden van het Runge-Kutta type voor periodieke beginwaardeproblemen
Authors: Van de Vyver, Hans; S0167178
Issue Date: 15-Mar-2006
Abstract: Bij het mathematisch modelleren van realistische problemen wordt vaak ge bruik gemaakt van gewone differentiaalvergelijkingen (ODE). Niettegensta ande op theoretisch gebied heel wat resultaten bekend zijn over het best aan en de enigheid van oplossingen is het in de praktijk zelden mogelijk een expliciete gedaante van de oplossing van dergelijke problemen op te stellen. Meestal moet men dan de toevlucht nemen tot numerieke methoden , die dan ook slechts benaderende oplossingen leveren voor het beschouwd e probleem. Lange tijd bestond de opvatting dat het voldoende was differ entiaalvergelijkingen op te splitsen in stijve en niet-stijve problemen bij de numerieke integratie. Er zijn excellente programma's beschikbaar die gebaseerd zijn op Runge-Kutta(-Nyström) (RK(N)) methoden of meerstap smethoden. De meeste bestaande codes zijn niet gespecialiseerd voor spec ifieke problemen en de subroutines zijn te algemeen. In deze context dee d Lambert de volgende uitspraak: "Where there is structure, we ought to be able to use it in the numerical method". Er zijn reeds een onov erzichtelijk aantal numerieke methoden ontwikkeld voor periodieke beginw aardeproblemen. De motivatie voor deze methoden kwam onafhankelijk vanui t uiteenlopende disciplines zoals astronomie, moleculaire dynamica, mech anica, akoestiek, enz... In dit werk wordt er bijzonder veel aandacht be steed aan exponential fitting. Technisch gezien bestaat dit u it het vervangen van machtsfuncties, die als referentie worden genomen i n het klassieke geval, door een gekozen mix van machts- en exponentiële of trigonometrische functies. Exponential fitting kan enkel toegepast wo rden als een aanvaardbare schatting van de frequentie op voorhand gekend is. De coëfficiënten van exponentially-fitted (EF) methoden hangen af v an het product van de frequentie en de staplengte. De EF algoritmen vorm en extensies van de klassieke algoritmen in de zin dat wanneer de freque ntie nadert naar nul de algoritmen vereenvoudingen tot de klassieke algo ritmen. Exponential fitting heeft inmiddels een zekere maturiteit bereik t; de essentiele facetten werden verzameld door Ixaru en Vanden Berghe. Enkele nauw verwante technieken komen eveneens aan bod in dit werk. De o vergrote meerderheid van al deze technieken zijn toegepast op meerstapsm ethoden voor twee-orde ODEs. De bedoeling is een grondig onderzoek te ma ken hoe deze technieken kunnen uitgebreid worden voor RK(N) methoden. De PhD-thesis behandelt een reeks van aspecten, gaande van de algemene the orie tot toepassingen zoals het numeriek oplossen van de Schrödinger ver gelijking of Hamiltoniaanse systemen. Hoofdstukken 1--2 zijn van een inleidende aard en belichamen belangrijke aspecten van de klassieke theorie van RK methoden tesamen met talrijke procedures voor een efficiënte integratie van oscillerende problemen. Hoofdstuk 3 start met een summier overzicht van reeds gekende benadering en voor de constructie van expliciete en impliciete EFRK(N) methoden. We presenteren een procedure voor de afleiding van EFRK methoden van het c ollocatie-type. Hierop steunend stellen we nieuwe twee-traps EFRK method en voor. Voor stelsels van ODEs is het mogelijk elke component met een a fzonderlijke frequentie af te stemmen. De EFRK methode wordt dan een par titioned methode. Een uitgebreide studie wijst uit dat partitioned EFRK method met variabele knooppunten niet geschikt zijn. De vraag hoe we de optimale frequentie kunnen bepalen voor algemene prob lemen is een lange tijd onbeantwoord gebleven. Vrij recent hebben Ixaru et al. een strategie bedacht om een maximaal rendement te halen uit EF m eerstapsmethoden voor eerste-orde ODEs. In Hoofdstuk 4 illustreren we da t deze technieken niet recht-toe-recht-aan kunnen uitgebreid worden voor EFRK methoden. Heel wat bijkomende moeilijkheden worden aan het licht g ebracht. Om al deze problemen te overbruggen stellen we voor om de inwen dige trappen en de finale trap af te stemmen op twee aparte frequenties. In het bijzonder construeren we EFRK methoden die afhangen van twee fre quenties. De RK(N) methoden ontwikkeld in Hoofdstuk 5 vertonen enkele interessante eigenschappen zoals een verdwijnend faseverschil en/of amplificatie. Bo vendien construeren we ingebedde RK paren gebaseerd op de FSAL techniek wat ons toelaat om op een goedkope manier de lokale fout te schatten en stapveranderingen door te voeren. De nieuwe paren werden vergeleken met heel wat bestaande codes op tal van testproblemen. De numerieke oplossing van de tijdsonafhankelijke Schrödinger vergelijki ng is het onderwerp van Hoofdstuk 6. We hebben enkele modificaties gemaakt van Simos' RK methode die meer geschikt zijn voor de Schrödinger vergelijking. Dit werd getoetst met met de berekening van resonanties e n eigenwaarden van de Woods-Saxon potentiaal. Bovendien hebben we codes ontwikkeld die gebruik maken van variabele staplengten om andere problem en op te lossen die voortkomen uit de Schrödinger vergelijking zoals de berekening van faseverschuivingen (één-dimensionale Schrödinger vergelij king) en verstrooiingsmatrices (stelsels van gekoppelde Schrödinger verg elijkingen). Symplectische methoden behouden de symplecticiteit van Hamiltoniaanse sy stemen. In Hoofdstuk 7 onderzoeken we hoe we het idee van exponential fi tting kunnen combineren met symplecticiteit. Enerzijds ontwikkelen we ee n vierde-orde symplectische impliciete EFRK methode, en anderzijds een t weede-orde symplectische expliciete EFRKN methode. Het bestaan van sympl ectische EF methoden met een orde hoger dan vier is momenteel nog een op en probleem. Hoofdstuk 8 houdt zich bezig met de uitbreiding van de analyse van de li neaire stabiliteit en het faseverschil van RK(N) methoden met variabele coëfficiënten. De kennis van de lineaire stabiliteit is onontbeerlijk ge durende de numerieke integratie. Er wordt een gedetailleerde en vergelij kende studie gemaakt van de lineaire stabiliteit, faseverschil en de amp lificatie van al de ontwikkelde methoden tesamen met talrijke andere bes taande methoden. Het onderzoek heeft uitgewezen dat de RK methoden maxim aal aangepast voor de Schrödinger vergelijking en de symplectische EFRKN methode de meest aantrekkelijke stabiliteitseigenschappen vertonen. Omd at RK(N) methoden niet-lineaire algoritmen zijn is de studie van de loka le afknottingsfout erg omslachtig. Om een idee te krijgen van de nauwkeu righeid van een methode hebben we geïllustreerd dat de studie van het fa severschil en de amplificatie een aantrekkelijk alternatief vormt. Voor het numeriek oplossen van stijve periodieke beginwaardeproblemen zi jn enkele belangrijke eigenschappen vereist zoals P-stabiliteit, een con cept dat werd gelanceerd door Lambert en Watson. Deze theorie werd uitge breid door Coleman en Ixaru voor methoden met coëfficiënten die afhangen van een parameter die evenredig is met de staplengte en de frequentie. De vraag of er P-stabiele EF methoden bestaan met een orde hoger dan twe e was voor een lange tijd onbeantwoord gebleven. In Hoofdstuk 9 construeren we een "bijna" P-stabiele EF hybriede methode . Het verschil tussen "bijna" en volledig P-stabiel is echter zo goed al s verwaarloosbaar. Verder onderzoek leert dat er naar alle waarschijnlij kheid geen toekomst is voor de constructie van hogere-orde P-stabiele EF hybriede methoden. Anderzijds hebben we in Hoofdstuk 9 het bestaan aang etoond van "bijna" P-stabiele methoden van een willekeurig hoge orde doo r impliciete EFRKN methoden te beschouwen.
Publication status: published
KU Leuven publication type: TH
Appears in Collections:Analysis Section

Files in This Item:

There are no files associated with this item.

Request a copy

 




All items in Lirias are protected by copyright, with all rights reserved.