ITEM METADATA RECORD
Title: Anosov diffeomorphisms on infra-nilmanifolds modeled on a free nilpotent Lie group.
Other Titles: Anosov diffeomorfismen op infra-nilvariëteiten gemodelleerd op vrije nilpotente Lie groepen.
Authors: Verheyen, Kelly
Issue Date: 23-Sep-2009
Abstract: In deze thesis bestuderen we het bestaan van Anosov diffeomorfismen op infra-nilvariëteiten gemodelleerd op vrije, nilpotent e Lie groepen. De interesse naar Anosov diffeomorfismen werd gewekt in 1967 door S. Smale, die enkele voorbeelden construeerde van Anosov diffeomorf ismen op nilvariëteiten. Hij stelt de vraag of we alle compacte variëteiten di e een Anosov diffeomorfisme toelaten kunnen classificeren. Hoewel er sindsdien al vrij veel onderzoek gedaan werd naar Anosov diffeomorfismen op nilvariët eiten en platte variëteiten, zijn er nog maar weinig resultaten gekend in het meer algemene geval van infra-nilvariëteiten. Wij spitsen ons in deze thesis toe op de infra-nilvariëteiten gemodelleerd op vrije, nilpotente Lie groepen. Er is een gekende manier om Anosov diffeomorfismen te construeren op infra-nilvariëteiten: indien we een hyperbolisch automorf isme van de bovenliggende Lie groep hebben dat projecteert tot een automorfis me van de infra-nilvariëteit, dan is deze geïnduceerde afbeelding een Anosov di ffeomorfisme. Omgekeerd bewees Manning in 1974 dat elk Anosov diffeomorfisme van een infra-nilvariëteit topologisch geconjugeerd is met zo’n hyperbolisch infra-nilvariëteit automorfisme. Het volstaat dus om uit te zoeken welke infra-nilvariëteiten zo’n hyperbolisch automorfisme toelaten. We geven eerst een algebraïsche vertaling van het probleem in termen van de rationale holonomierepresentatie geassocieerd aan een i nfra-nilvariëteit. We kunnen aantonen dat een infra-nilvariëteit een Anosov diffeomorfisme toelaat als en slechts als er een hyperbolisch, geheel-vormig automorfisme besta at dat commuteert met elk element van het beeld van de rationale holonomierepresentatie. In het geval van nilvariëteiten gemodelleerd op vrije nilpotente Lie groepen leidt dit tot een mooi algebraïsch en getaltheore tisch bewijs van de classificatie van deze nilvariëteiten die een Anosov diffeomorfisme toelaten: we vinden dat een nilvariëteit gemodelleerd op een vrije, c-staps nilpotente Lie groep op n generatoren een Anosov diffeomo rfisme toelaat als en slechts als c strikt kleiner is dan n. Keren we terug naar het meer algemene geval van infra-nilvariëteiten gemodelleerd op vrije nilpotente Lie groepen, dan vinden we dat we de voorwaarde volledig kunnen vertalen in een voorwaarde op de geabelianise erde holonomierepresentatie. Via een studie van representaties van eindige, abelse groepen vinden we echter nog betere resultaten voor infra-nilvariëteiten met een abelse holonomiegroep: een infra-nilvariëteit gemodelleerd op een vr ije, c-staps nilpotente Lie groep met abelse holonomiegroep, laat een Anosov diffeomorfisme toe als en alleen als elke Q-irreducibele component van d e geabelianiseerde rationale holonomierepresentatie die voorkomt met multipliciteit m, spli tst in minstens c/m componenten gezien als representatie over R. Later blijkt echter dat deze beperking tot abelse holonomiegroepen niet echt een restrictie is indien er sprake is van een Lie groep op een beperkt aantal generatoren: in dat geval is het een vereiste dat de holonomiegroep abels is, opdat de infra-nilvariëteit een Anosov diffeomo rfisme kan toelaten. We krijgen hier dus een volledige classificatie van de infra-nilvariëteiten gemodelleerd op vrije, c-staps nilpotente Lie groep en op n generatoren, waarbij n kleiner is dan of gelijk aan 2c+1, die een Anosov diffeomorfisme toelaten. We geven tot slot enkele opmerkingen omtrent het construeren van infra-nilvariëteiten die een Anosov diffeomorfisme toelaten. We wete n al wanneer, gegeven een infra-nilvariëteit tezamen met zijn bijhorende holo nomierepresentatie, deze variëteit een Anosov diffeomorfisme toelaat; maar omgekeerd zijn we onder bepaalde voorwaarden ook in staat om, gegeven een representatie van een eindige groep die aan bepaalde voorwaarden voldoet, een infra-nilvariëteit te construeren die deze representatie als geabelianiseerde rationale holonomierepresentatie heeft. Met deze kennis kunnen we onder andere een infra-nilvariëteit construeren, gemodelleerd op de vrije 2-staps nilpote nte Lie groep op 6 generatoren en met holonomiegroep D4, die een Anosov diffeomorfisme toelaat. Verder vinden we ook, gebruik makend van een com binatie van getaltheorie en eerdere resultaten uit de thesis, een classificatie van alle cyclische groepen Zn die voorkomen als de holonomiegroep van een infra-nilvariëteit gemodelleerd op een vrije, nilpotente Lie groep o p ten hoogste 20 generatoren, die een Anosov diffeomorfisme toelaat.
Publication status: published
KU Leuven publication type: TH
Appears in Collections:Mathematics, Campus Kulak Kortrijk

Files in This Item:

There are no files associated with this item.

Request a copy

 




All items in Lirias are protected by copyright, with all rights reserved.