ITEM METADATA RECORD
Title: The Hermite-Padé approximation technique for proving irrationality of certain numbers.
Other Titles: De Hermite-Padé benaderingstechniek om de irrationaliteit van bepaalde getallen aan te tonen.
Authors: Smet, Christophe
Issue Date: 22-Sep-2009
Abstract: Het doel van deze doctoraatsthesis is het opstellen van rijen van goede rationale benaderingen voor een vooraf vastgelegd reëel getal x.&amp;n bsp; Een belangrijk lemma hiervoor zegt dat, als men twee gehele rijen < I&gt;a_n en b_n kan vinden, zodanig dat de rij b_n x - a_n niet nul is, maar wel naar nul convergeert, dan x irrationaal is. Bovendien bestaat er het begrip irrationaliteitsmaat van een r eëel getal x. Deze maat geeft informatie over hoe goed x benaderd kan worden door rationale getallen. Hoe beter de benaderende rijen a_n en b_n zijn (dus hoe sneller de r ij b_n x - a_n naar nul convergeert vergeleken met de groei van&amp;nb sp;b_n), hoe beter de grenzen zijn voor de irrationaliteitsmaat va n x. De techniek die hier vooral gebruikt wordt voor het opstellen van deze r ijen, is de (Hermite-)Padé techniek. Bij de Padé-techniek zoe kt men rationale functies met gegeven teller- en noemergraad, die een fu nctie f(z) benaderen in een bepaald punt (gewoonlijk is&amp; nbsp;z oneindig). De Hermite-Padé techniek is een uitbr eiding, waarbij meer dan één functie gelijktijdig wordt benaderd. De voorwaarden om goede rationale benaderingen te verkrijgen blijken ort hogonaliteitsvoorwaarden voor de noemerveeltermen te geven, vandaar de l ink met orthogonale veeltermen. Het blijkt dat de oplossingen van deze benaderingsproblemen vaak makkeli jk kunnen beschreven worden in functie van een bepaalde integraaltransfo rmatie: de (q)-Mellin transformatie. Een afzonderlijk h oofdstuk werd hieraan gewijd, vooral dan in verband met meervoudige Jaco bi-Piñeiro en kleine q-Jacobi veeltermen. Doorheen de thesis duiken vaak q-extensies op. Hierin is < I&gt;q een parameter met modulus kleiner dan 1, met de eigenschap dat <I &gt;q naar 1 laten gaan ons opnieuw de klassieke grootheid gee ft. Er bestaan q-extensies van orthogonale veeltermen,&amp; nbsp;zeta- en betawaarden, integratie and afleiding, integraaltransforma ties,... In deze thesis wordt de (Hermite-)Padé techniek toegepast op enkele fami lies reële getallen. Er is een familie van Lambertreeksen, die afh angt van drie parameters (een teken, een rationaal getal < 1 en een gehe el getal). De irrationaliteit van elk getal in deze familie wordt aangetoond. Deze familie omvat enkele gekende q-co nstanten: de q-zeta- en q-betawaarden in 1 en de < I&gt;q-extensie van ln(2). Om dit resultaat over de irrationalitei t (en bijhorende irrationaliteitsmaat) te bekomen, was het nodig een enk elvoudig Padéprobleem op te lossen. Om de irrationaliteit van een q-extensie van de zetawaarde in 2 aan te tonen, werd een Hermite-Padé probleem voor twee functies opgesteld en opgelost. De bekomen benaderingen laten toe om de (ge kende) irrationaliteit van deze familie weer aan te tonen, maar ook om d e bovengrens voor de irrationaliteitsmaat van deze familie te verlagen.&amp; nbsp; De parameter 1/q is hier een geheel getal. De Hermite-Padé techniek en enkele andere benaderingstechnieken&amp;nbs p;werden ook toegepast op twee andere gevallen: de constante van Ca talan, en een q-extensie van de zetawaarde in 3 (ook hie r weer is de parameter 1/q een geheel getal). De bekome n approximaties zijn echter in beide gevallen niet goed genoeg om de (ve rmoede) irrationaliteit aan te tonen. De moeilijkheid is tweeërlei : enerzijds is het moeilijk om benaderingen op te stellen voor enkel het gewilde getal, zonder dat er andere getallen in opduiken (Pi in het gev al van Catalan, de q-zeta's in 1 en 2 in het andere geval).&amp;n bsp; Anderzijds geeft de Hermite-Padé techniek ons gewoonlijk ra tionale rijen, terwijl we voor resultaten in verband met irrationalit eit gehele rijen nodig hebben. De snelle groei van de f actor, nodig om van deze rationale rijen gehele rijen te maken doet vaak de intrinsiek goede kwaliteit van deze benaderingen teniet.
Publication status: published
KU Leuven publication type: TH
Appears in Collections:Tutorial services, Faculty of Science
Analysis Section

Files in This Item:
File Status SizeFormat
thesisarchief.pdf Published 739KbAdobe PDFView/Open Request a copy

These files are only available to some KU Leuven Association staff members

 




All items in Lirias are protected by copyright, with all rights reserved.