Author:

Abstract:

Het doel van deze doctoraatsthesis is het opstellen van rijen van goede rationale benaderingen voor een vooraf vastgelegd reëel getal x.&n bsp; Een belangrijk lemma hiervoor zegt dat, als men twee gehele rijen < I>a_n en b_n kan vinden, zodanig dat de rij b_n x - a_n niet nul is, maar wel naar nul convergeert, dan x irrationaal is. Bovendien bestaat er het begrip irrationaliteitsmaat van een r eëel getal x. Deze maat geeft informatie over hoe goed x benaderd kan worden door rationale getallen. Hoe beter de benaderende rijen a_n en b_n zijn (dus hoe sneller de r ij b_n x - a_n naar nul convergeert vergeleken met de groei van&nb sp;b_n), hoe beter de grenzen zijn voor de irrationaliteitsmaat va n x. De techniek die hier vooral gebruikt wordt voor het opstellen van deze r ijen, is de (Hermite-)Padé techniek. Bij de Padé-techniek zoe kt men rationale functies met gegeven teller- en noemergraad, die een fu nctie f(z) benaderen in een bepaald punt (gewoonlijk is& nbsp;z oneindig). De Hermite-Padé techniek is een uitbr eiding, waarbij meer dan één functie gelijktijdig wordt benaderd. De voorwaarden om goede rationale benaderingen te verkrijgen blijken ort hogonaliteitsvoorwaarden voor de noemerveeltermen te geven, vandaar de l ink met orthogonale veeltermen. Het blijkt dat de oplossingen van deze benaderingsproblemen vaak makkeli jk kunnen beschreven worden in functie van een bepaalde integraaltransfo rmatie: de (q)-Mellin transformatie. Een afzonderlijk h oofdstuk werd hieraan gewijd, vooral dan in verband met meervoudige Jaco bi-Piñeiro en kleine q-Jacobi veeltermen. Doorheen de thesis duiken vaak q-extensies op. Hierin is < I>q een parameter met modulus kleiner dan 1, met de eigenschap dat